Question

【題目】如圖所示，某街道居委會擬在EF地段的居民樓正南方向的空白地段AE上建一個活動中心，其中AE長為30米．活動中心東西走向，與居民樓平行．從東向西看活動中心的截面圖的下部分是長方形ABCD，上部分是以DC為直徑的半圓．為了保證居民樓住戶的采光要求，活動中心在與半圓相切的太陽光線照射下落在居民樓上的影長GE不超過2.5米，其中該太陽光線與水平線的夾角θ滿足tan θ＝.

（1）若設計AB＝18米，AD＝6米，問能否保證上述采光要求？

（2）在保證上述采光要求的前提下，如何設計AB與AD的長度，可使得活動中心的截面面積最大？ (注：計算中π取3)

Answer 1

【答案】（1）能 （2）當AB＝20米且AD＝5米時，可使得活動中心的截面面積最大．

【解析】

（1）以點A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系．設太陽光線所在直線方程為y=x+b，利用直線與圓相切，求出直線方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即

可得出結論；（2）欲使活動中心內部空間盡可能大，則影長EG恰為2.5米，即可求出截面面積最大.

解：如圖，以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系．

（1）因為AB＝18米，AD＝6米，

所以半圓的圓心為H(9,6)，半徑r＝9.

設太陽光線所在直線方程為y＝－x＋b，

即3x＋4y－4b＝0，則由＝9，

解得b＝24或b＝ (舍)．

故太陽光線所在直線方程為y＝－x＋24,

令x＝30，得EG＝1.5＜2.5.

所以此時能保證上述采光要求．

（2）設AD＝h米，AB＝2r米，

則半圓的圓心為H(r，h)，半徑為r.

方法一　設太陽光線所在直線方程為y＝－x＋b，

即3x＋4y－4b＝0，

由＝r，解得b＝h＋2r或b＝h－ (舍)．

故太陽光線所在直線方程為y＝－x＋h＋2r，

令x＝30，得EG＝2r＋h－，

由EG≤，得h≤25－2r.

所以S＝2rh＋πr2＝2rh＋×r2≤2r(25－2r)＋×r2

＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250.

當且僅當r＝10時取等號．

所以當AB＝20米且AD＝5米時，

可使得活動中心的截面面積最大．

方法二　欲使活動中心內部空間盡可能大，

則影長EG恰為2.5米，則此時點G為(30,2.5)，

設過點G的上述太陽光線為l1，

則l1所在直線方程為y－＝－(x－30)，

即3x＋4y－100＝0.

由直線l1與半圓H相切，得r＝.

而點H(r，h)在直線l1的下方，則3r＋4h－100＜0，

即r＝－，從而h＝25－2r.

又S＝2rh＋πr2＝2r(25－2r)＋×r2＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250.當且僅當r＝10時取等號．

所以當AB＝20米且AD＝5米時，

可使得活動中心的截面面積最大．