Question

圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個三角形，當(dāng)該三角形面積最小時，切點為P（如圖）.
（1）求點P的坐標(biāo)；
（2）焦點在x軸上的橢圓C過點P，且與直線交于A，B兩點，若的面積為2，求C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

Answer 1

（1）；（2）

解析試題分析：（1）首先設(shè)切點，由圓的切線的性質(zhì)，根據(jù)半徑的斜率可求切線斜率，進(jìn)而可表示切線方程為，建立目標(biāo)函數(shù)．故要求面積最小值，只需確定的最大值，由結(jié)合目標(biāo)函數(shù)，易求；（2）設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，點在橢圓上，代入點得①，利用弦長公式表示，利用點到直線距離公式求高，進(jìn)而表示的面積，與①聯(lián)立，可確定，進(jìn)而確定橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（1）設(shè)切點坐標(biāo)為．則切線斜率為．切線方程為．即．此時，兩個坐標(biāo)軸的正半軸于切線圍成的三角形面積．由知當(dāng)且僅當(dāng)時，有最大值．即有最小值．因此點的坐標(biāo)為．
（2）設(shè)的標(biāo)準(zhǔn)方程為．點．由點在上知．并由得．又是方程的根，因此，由，，得．由點到直線的距離為及得．解得或．因此，（舍）或，
．從而所求的方程為．
考點：1、直線方程；2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；3、弦長公式和點到直線的距離公式．