Question

已知函數，（且）.
（1）設，令，試判斷函數在上的單調性并證明你的結論；
（2）若且的定義域和值域都是，求的最大值；
（3）若不等式對恒成立，求實數的取值范圍；

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）.

試題分析：(1)本小題有兩個思考方向，其一可用單調性的定義給與證明，通過取值、作差、變形、判號、結論可完成證明；其二可用導數給與證明，通過求導數，判斷導數的正負可完成證明；(2)本小題首先判斷函數在上單調遞增，這樣根據函數的定義域和值域都是可得，于是把問題轉化為一元二次方程求解，通過根與系數的關系可得的表達式，然后求最值；（3）本小題通過不等式變現可得，即得到不等式對恒成立,然后轉化為函數的最值得不等式組，求得參數的取值范圍.
試題解析：（1）證明：
方法一：任取，
當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減     5分
方法二：,則
當時，，在上單調遞增；
當時，，在上單調遞減           5分
（2）由（1）知函數在上單調遞增；因為所以在上單調遞增，
的定義域、值域都是,則,
即是方程的兩個不等的正根，
等價于方程有兩個不等的正根，
等價于且 ,則,
 
時，最大值是         10分
（3）,則不等式對恒成立，
即
即不等式,對恒成立,
令,易證在遞增，
同理遞減.

.                   15分