Question

【題目】如圖，在矩形中，，，分別在線段和上，且，為中點，以為折痕將折起，使點到達點的位置，且平面平面.

（1）求證：平面平面；

（2）點為線段的中點，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(1)證明見詳解；(2).

【解析】

（1）先證，再由面面垂直推證平面，即可由線面垂直推證面面垂直；

（2）將問題轉化為求的體積，結合幾何關系，即可容易求得結果.

（1）延長交于點，交于，四邊形如下圖所示：

因為，故可得，

故可得，

又因為，

則，

在中，，

故可得，

因為平面平面，且交線為，

又因為平面，

故可得平面.

又平面，

故可得平面平面.即證.

（2）因為為中點，

故到平面的距離為到平面距離的；

又因為//，平面，

故//平面，

則點到平面的距離與到平面的距離相等.

故.

取中點為，連接，如下圖所示：

因為，故可得，

又因為平面平面，且交于，

平面，

故平面，即平面.

即為到平面的距離.

又因為，，

故.

在中，因為，，

故，解得.

故.

即三棱錐的體積為.