Question

【題目】如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，SD=DC=2AD，側(cè)棱SD⊥底面ABCD，點(diǎn)E是SC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在SB上，且EF⊥SB．
（1）求證：SA∥平面BDE；
（2）求證SB⊥平面DEF；

Answer 1

【答案】證明：（1）如圖，

連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE．
∵點(diǎn)O、E分別為AC、SC的中點(diǎn)，
∴OE∥SA，又OE平面BDE，SA平面BDE，
∴SA∥平面BDE；
（2）證明：∵SD=DC，E是SC的中點(diǎn)，∴DE⊥SC，
又SD⊥底面ABCD，∴平面SDC⊥平面ABCD，
∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥平面SDC，
∴BC⊥DE，
又SC∩BC=C，∴DE⊥平面SBC，
又SB平面SBC，∴SB⊥DE，
又EF⊥SB，
EF∩ED=E，
∴SB⊥平面EFD；
【解析】（1）連接AC交BD于點(diǎn)O，連接OE．然后利用三角形中位線的性質(zhì)可得OE∥SA，再由線面平行的判定定理證得SA∥平面BDE；
（2）由SD=DC，E是SC的中點(diǎn)可得DE⊥SC，再由面面垂直的判定和性質(zhì)得到BC⊥平面SDC，從而得到BC⊥DE，進(jìn)一步得到SB⊥DE，結(jié)合已知EF⊥SB，由線面垂直的判定得結(jié)論.