Question

【題目】函數(shù)f′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導(dǎo)函數(shù)，f（1）=0，當(dāng)x＜0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0，則使得f（x）＜0成立的x的取值范圍是（　　）
A.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）
B.（﹣1，0）∪（1，+∞）
C.（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
D.（﹣1，0）∪（0，1）

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設(shè)g（x）=xf（x），則g′（x）=xf′（x）+f（x），
∵當(dāng)x＜0時(shí)，xf′（x）+f（x）＞0，
∴則當(dāng)x＜0時(shí)，g′（x）＞0，
∴函數(shù)g（x）=xf（x）在（﹣∞，0）上為增函數(shù)，
∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，∴g（﹣x）=（﹣x）f（﹣x）=（﹣x）[﹣f（x）]=xf（x）=g（x），
∴函數(shù)g（x）為定義域上的偶函數(shù)，
由f（1）=0得，g（1）=0，函數(shù)g（x）的圖象大致如右圖：
∵不等式f（x）＜0＜0，
∴
由函數(shù)的圖象得，﹣1＜x＜0或x＞1，
∴使得f（x）＜0成立的x的取值范圍是：（﹣1，0）∪（1，+∞），
故選：B．

根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)g（x）=xf（x），由求導(dǎo)公式和法則求出g′（x），結(jié)合條件判斷出g′（x）的符號，即可得到函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)f（x）奇函數(shù)判斷出
g（x）是偶函數(shù)，將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由圖象求出不等式成立時(shí)x的取值范圍．