Question

如圖所示,矩形ABCD中,AB=a,AD=b,過點D作DE⊥AC于E,交直線AB于F.現將△ACD沿對角線AC折起到△PAC的位置,使二面角PACB的大小為60°.過P作PH⊥EF于H.

(1)求證:PH⊥平面ABC;
(2)若a+b=2,求四面體PABC體積的最大值.

Answer 1

(1)見解析   (2)

解析(1)證明:∵DF⊥AC,
∴折起后AC⊥PE,AC⊥EF,
∴AC⊥平面PEF,
又PH?平面PEF,
∴AC⊥PH,
又PH⊥EF,EF∩AC=E,
∴PH⊥平面ABC.
(2)解:∵PE⊥AC,EF⊥AC,
∴∠PEF就是二面角PACB的平面角,
∴∠PEF=60°,
∴Rt△PHE中,PH=PE,
折起前,Rt△ADC中,
DE==,
S_△ABC=ab,
折起后,PE=DE,
∴PH=PE=·,
∴=PH·S_△ABC
=···ab
=·,
∵a+b=2,a>0,b>0,
∴≤=≤=,
當且僅當a=b=1時,兩個等號同時成立,
因此()_max=.