Question

如圖所示，F為雙曲線C：

x2

9

-

y2

16

=1的左焦點，雙曲線C上的點P_i與P_7-i（i=1，2，3）關于y軸對稱，則|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|-|P₄F|-|P₅F|-|P₆F|的值是______．

Answer 1

設右焦點為M，
∵雙曲線C上的點P_i與P_7-i（i=1，2，3）關于y軸對稱 即P₁和P₆，P₂和P₅，P₃和P_{4^{分別關于y軸對稱}}
∴|FP₁|=|MP₆|，|FP₂|=|MP₅|，|FP₃|=|MP₄|
∴|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|-|P₄F|-|P₅F|-|P₆F|=（|MP₆|-|P₆F|）+（|MP₅|-|P₅F|）+（|MP₄|-|P₄F|）
根據雙曲線的第二定義可知
|MP₆|-|P₆F|=2a=6，|MP₅|-|P₅F|=2a=6，|MP₄|-|P₄F|=2a=6
∴|P₁F|+|P₂F|+|P₃F|-|P₄F|-|P₅F|-|P₆F|=18
故答案為18．