Question

設C₁，C₂，…，C_n，…是坐標平面上的一列圓，它們的圓心都在x軸的正半軸上，且都與直線y=

3

3

x相切，對每一個正整數n，圓C_n都與圓C_n+1相互外切，以r_n表示C_n的半徑，已知{r_n}為遞增數列．
（Ⅰ）證明：{r_n}為等比數列；
（Ⅱ）設r₁=1，求數列{

n

rn

}的前n項和．

Answer 1

分析：（1）求直線傾斜角的正弦，設C_n的圓心為（λ_n，0），得λ_n=2r_n，同理得λ_n+1=2r_n+1，結合兩圓相切得圓心距與半徑間的關系，得兩圓半徑之間的關系，即{r_n}中r_n+1與r_n的關系，證明{r_n}為等比數列；
（2）利用（1）的結論求{r_n}的通項公式，代入數列

n

rn

，然后用錯位相減法求和．

解答：解：（1）將直線y=

3

3

x的傾斜角記為，則有tanθ=

3

3

，sinθ=

1

2

，
設C_n的圓心為（λ_n，0），則由題意得知

rn

λn

=

1

2

，得λ_n=2r_n；同理
λ_n+1=2r_n+1，從而λ_n+1=λ_n+r_n+r_n+1=2r_n+1，將λ_n=2r_n代入，
解得r_n+1=3r_n
故|r_n|為公比q=3的等比數列．
（Ⅱ）由于r₁=1，q=3，故r_n=3^n-1，從而

n

rn

=n*31-n，
記Sn=

1

r1

+

2

r2

++

n

rn

，
則有S_n=1+2•3^-1+3•3^-2+…+n•3^1-n

Sn

3

=1*3-1+2*3-2+…+(n-1)*31-n+n*3-n
①-②，得

2Sn

3

=1+3-1+3-2+…+31-n-n*3-n 
=

1-3-n

2 3

-n*3-n=

3

2

-(n+

3

2

)*3-n，
∴Sn=

9

4

-

1

2

(n+

3

2

)*31-n=

9-(2n+3)*31-n

4

點評：本題考查等比數列的基本知識，利用錯位相減法求和等基本方法，考查抽象概括能力以及推理論證能力．對于數列與幾何圖形相結合的問題，通常利用幾何知識，并結合圖形，得出關于數列相鄰項a_n與a_n+1之間的關系，然后根據這個遞推關系，結合所求內容變形，得出通項公式或其他所求結論．對于數列求和問題，若數列的通項公式由等差與等比數列的積構成的數列時，通常是利用前n項和S_n乘以公比，然后錯位相減解決．