Question

【題目】已知橢圓的左右兩焦點(diǎn)分別為、.

（1）若矩形的邊在軸上，點(diǎn)、均在上，求該矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱側(cè)面積的取值范圍；

（2）設(shè)斜率為的直線與交于、兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為（），求證：；

（3）過上一動(dòng)點(diǎn)作直線，其中，過作直線的垂線交軸于點(diǎn)，問是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立，若存在，求出的值，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）1.

【解析】

（1）設(shè)D（x，y），由D在橢圓上，可得|xy|，再由矩形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后所得圓柱體側(cè)面積為S側(cè)＝2π|BC||AB|＝4π|xy|求解；

（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），利用點(diǎn)差法可得k，再由M（1，m）在橢圓內(nèi)部，得m2，即0＜m，由此證明結(jié)論；

（3）直線的斜率為，則，求出，，再由到角公式可得ER為∠F1EF2的角分線，得到，即|EF1||RF2|＝λ|EF2||RF1|，可知存在實(shí)數(shù)λ＝1，使得|EF1||RF2|＝λ|EF2||RF1|恒成立．

（1）解：設(shè)D（x，y），由D在橢圓上，

得1，得|xy|，

當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取“＝”．

矩形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周后所得圓柱體側(cè)面積為S側(cè)＝2π|BC|AB|＝4π|xy|，

∴S側(cè)＝4π|xy|≤4π；

（2）證明：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），

則，，

兩式作差可得：k，

由M（1，m）在橢圓內(nèi)部，得，即m2，

又m＞0，∴0＜m，得k；

（3）解：直線的斜率為，則，

又，，

設(shè)直線EF1到直線ER的角為α，直線ER到直線EF2的角為β，

則tanα，

tanβ．

∴tanα＝tanβ，則α＝β，即ER為∠F1EF2的角分線，

∴，即|EF1||RF2|＝λ|EF2||RF1|，

∴存在實(shí)數(shù)λ＝1，使得|EF1||RF2|＝λ|EF2||RF1|恒成立．