Question

【題目】已知函數，

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）設函數，若，且在上恒成立，求的取值范圍；

（3）設函數，若，且在上存在零點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調減區間為，單調增區間為（2）（3）

【解析】

（1）由得，對其求導，用導函數方法判斷其單調性即可；

（2）由得，當時，根據二次函數的性質，即可求出結果；當，由分離參數的方法得到恒成立，設，用導數的方法求出其最小值，即可得出結果；

（3）根據題中條件，將在上存在零點，轉化為在上有解，設，用導數的方法判斷，進而得到，再令，對其求導，用導數的方法研究其單調性，得出最小值，即可求出結果.

【解】（1）當時，，所以.

令，得.

因為函數g（x）的定義域為，

當時，；當時，，

所以函數g（x）的單調減區間為（0,2），單調增區間為.

（2）因為，所以

當時，由恒成立，

則有當，即時，恒成立；

當，即時，，

所以.

綜上，.

當時，由恒成立，即恒成立.

設，則.

令，得，

且當時，；當時，，

所以，所以.

綜上所述，b的取值范圍是.

（3）.

因為u(x)在上存在零點，所以在上有解，

即在上有解.

又因為，即，

所以在上有解.

設，則，

令，得，且當時，；當時，，所以，即，所以，

因此.

設，則，

同理可證：，所以，

于是在上單調遞減，在上單調遞增，

所以，故.