Question

【題目】已知直線，半徑為2的圓與相切，圓心在軸上且在直線的右上方.

（1）求圓的方程；

（2）若直線過點且與圓交于兩點（在軸上方，在軸下方），問在軸正半軸上是否存在定點，使得軸平分？若存在，請求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，且.

【解析】

試題分析：（1）由于圓心在軸上，故可設圓心的坐標，然后利用圓心到直線的距離等于半徑，建立方程，解方程就可以求出圓心為原點，進而求得圓的方程；（2）當直線軸時，軸平分，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯立直線的方程和圓的方程，寫出根與系數關系，，根據軸平分，，代入根與系數關系化簡后可得點的坐標為.

試題解析：

（1）設圓心，則或（舍），所以圓.

（2）當直線軸時，軸平分，當直線的斜率存在時，設直線的方程為，

，，由

得：，∴，，

若軸平分，則

，

所以當點時，能使得總成立.