Question

【題目】已知函數，.

（1）若，試求函數的零點個數；

（2）當，對，且滿足，試判斷與的大小關系，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）一個零點；（2），理由見解析

【解析】

（1）把代入函數解析式，求出導函數，利用導數與函數單調性之間的關系求出函數的最大值，進而可確定函數的零點；

（2）把代入函數的解析式，由，即，令，可得，利用導數可得，從而可得，進而可比較出大小；

（1）當時，，，

此時，

則當時，；當時，；

易知函數在區間單調遞增，在區間單調遞減；

所以（當且僅當取等號），

故當時，函數只有一個零點；

（2），理由如下：當時，，，

由，即，

從而，令，

則由，得，

可知，在區間上單調遞減，在區間上單調遞增.

所以有，所以，

因此，，由上可知，這里取到等號需要，

而此時無實數解，故必有.