Question

（1）若關于x的不等式-

1

2

x2+2x＞mx的解集為{x|0＜x＜2}，求實數m的值；
（2）已知x，y都是正數，若4x+y=6，求

1

x

+

1

y

的最小值．

Answer 1

考點：基本不等式,一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）原不等式可變為x²-（4-2m）x＜0，由題意可得0，2是一元二次方程x²-（4-2m）x=0的兩個實數根，利用根與系數的關系即可得出．
（2）利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出．

解答： 解：（1）原不等式可變為x²-（4-2m）x＜0，
∵關于x的不等式-

1

2

x2+2x＞mx的解集為{x|0＜x＜2}，
∴0，2是一元二次方程x²-（4-2m）x=0的兩個實數根，
∴0+2=4-2m，解得m=1，
∴實數m=1．
（2）∵x，y都是正數，4x+y=6，

1

x

+

1

y

=

1

6

(4x+y)(

1

x

+

1

y

)
=

1

6

(5+

4x

y

+

y

x

)≥

1

6

(5+2

4x y • y x

)=

3

2

，當且僅當y=2x=2時取等號．

∴

1

x

+

1

y

的最小值是

3

2

．．

點評：本題考查了一元二次不等式的解集與相應的一元二次方程的實數根的關系、“乘1法”和基本不等式的性質，考查了計算能力，屬于基礎題．