Question

已知點，圓C：與橢圓E:有一個公共點，分別是橢圓的左、右焦點，直線與圓C相切．

（1）求m的值與橢圓E的方程；
（2）設Q為橢圓E上的一個動點，求的取值范圍．

Answer 1

（1）．
（2）

（1）點A代入圓C的方程，得，
∵m＜3，∴m=1．圓C的方程為．
設直線的斜率為k，則：，
即．
∵直線與圓C相切，∴，解得，或．
當時，直線與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去．
當時，直線與x軸的交點橫坐標為-4，
∴．
，
．橢圓E的方程為：．
(2) ，設，
．
∵，即，
而，∴．
則的取值范圍是［0，36］．
x+3y的取值范圍是［-6，6］．
∴x+3y-6的取值范圍是［-12，0］，
即·的取值范圍是［-12，0］．