Question

已知數列{a_n}是等差數列，數列{b_n}是正項等比數列，且滿足a₁=1，b₁=4，a₂+b₂=10，a₂₆-b₃=10．
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）記c_n=a_nb_n，求數列{C_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差數列的通項公式,等比數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得

1+d+4q=10 1+25d-4q2=10 q＞0

，由此能求出a_n=1+n-1=n，bn=4•2n-1=2n+1．
（2）由c_n=a_nb_n=n•2ⁿ⁺¹．利用錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}是等差數列，數列{b_n}是正項等比數列，
且滿足a₁=1，b₁=4，a₂+b₂=10，a₂₆-b₃=10．
∴

1+d+4q=10 1+25d-4q2=10 q＞0

，
解得d=1，q=2，
∴a_n=1+n-1=n，
bn=4•2n-1=2n+1．
（2）∵c_n=a_nb_n=n•2ⁿ⁺¹．
∴S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+n•2ⁿ⁺¹，①
2S_n=1•2³+2•2⁴+3•2⁵+…+n•2ⁿ⁺²，②
①-②，得：-S_n=2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺²
=

4(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺²
=（1-n）•2ⁿ⁺²-4，
∴Sn=(n-1)•2n+2+4．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．