Question

【題目】設a∈R，函數f(x)＝x|x－a|－a.

(1) 若f(x)為奇函數，求a的值；

(2) 若對任意的x∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，求a的取值范圍；

(3) 當a＞4時，求函數y＝f(f(x)＋a)零點的個數．

Answer 1

【答案】（1）0（2）（3）見解析

【解析】

解：(1) 若f(x)為奇函數，則f(－x)＝－f(x)．令x＝0，得f(0)＝－f(0)，

即f(0)＝0，所以a＝0，此時f(x)＝x|x|為奇函數．

(2) 因為對任意的x∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，所以f(x)min≥0.

當a≤0時，對任意的x∈[2，3]，f(x)＝x－a≥0恒成立，所以a≤0；

當a>0時，易得f(x)＝在上是單調增函數，在上是單調減函數，在上是單調增函數，

當0<a<2時，f(x)min＝f(2)＝2(2－a)－a≥0，解得a≤，所以a≤；

當2≤a≤3時，f(x)min＝f(a)＝－a≥0，解得a≤0，所以a不存在；

當a>3時，f(x)min＝min＝min≥0，解得a≥，

所以a≥.

綜上，得a≤或a≥.

(3) 設y＝f(f(x)＋a)，令t＝f(x)＋a＝x，則y＝f(t)＝t－a，a>4，

第一步，令f(t)＝0t＝a，

所以，當t<a時，t2－at＋a＝0，

判別式Δ＝a(a－4)>0，

解得t1＝，t2＝；

當t≥a時，由f(t)＝0，得t(t－a)＝a，

解得t3＝；

第二步，易得0<t1<<t2<a<t3，且a<，

① 若x＝t1，其中0<t1<，

當x<a時，x2－ax＋t1＝0，記p(x)＝x2－ax＋t1，因為對稱軸x＝<a，

p(a)＝t1>0，且Δ1＝a2－4t1>0，所以方程t2－at＋t1＝0有2個不同的實根；

當x≥a時，x2－ax－t1＝0，記q(x)＝x2－ax－t1，因為對稱軸x＝<a，

q(a)＝－t1<0，且Δ2＝a2＋4t1>0，所以方程x2－ax－t1＝0有1個實根，

從而方程x＝t1有3個不同的實根；

② 若x＝t2，其中0<t2<，由①知，方程x＝t2有3個不同的實根；

③ 若x＝t3，

當x>a時，x2－ax－t3＝0，記r(x)＝x2－ax－t3，因為對稱軸x＝<a，

r(a)＝－t3<0，且Δ3＝a2＋4t3>0，所以方程x2－ax－t3＝0有1個實根；

當x≤a時，x2－ax＋t3＝0，記s(x)＝x2－ax－t3，因為對稱軸x＝<a，

s(a)＝t3>0，且Δ3＝a2－4t3，a2－4t3>0a3－4a2－16<0，

記m(a)＝a3－4a2－16，則m′(a)＝a(3a－8)>0，

故m(a)為(4，＋∞)上的增函數，且m(4)＝－16<0，m(5)＝9>0，

所以m(a)＝0有唯一解，不妨記為a0，且a0∈(4，5)．

若4<a<a0，即Δ3<0，方程x2－ax＋t3＝0有0個實根；

若a＝a0，即Δ3＝0，方程x2－ax＋t3＝0有1個實根；

若a>a0，即Δ3>0，方程x2－ax＋t3＝0有2個實根．

所以，當4<a<a0時，方程x＝t3有1個實根；

當a＝a0時，方程x＝t3有2個實根；

當a>a0時，方程x＝t3有3個實根．

綜上，當4<a<a0時，函數y＝f的零點個數為7；

當a＝a0時，函數y＝f的零點個數為8；

當a>a0時，函數y＝f的零點個數為9.