Question

【題目】正整數數列滿足（p，q為常數），其中為數列的前n項和．

(1)若，，求證：是等差數列；

(2)若數列為等差數列，求p的值；

(3)證明：的充要條件是．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）或；（3）證明見解析.

【解析】

（1），時，，可得，時，，化為：，即可證明.

（2）設等差數列的公差為，可得，.

又，可得.比較兩邊的系數可得：，對分類討論，進而得出．

（3）由，可得．由，利用遞推關系可得：，即.必要性：當時，可得.充分性：反證法，當時，可得，不滿足.當時，同理可證明，不滿足.

（1），時，，可得.

時，，

整理為：，

∴，∴是等差數列.

（2）設等差數列的公差為d，

∴，.

則，

∴①.

比較兩邊的系數可得：，

當時，，解得，．

此時，，由（1）可得：是等差數列.

當時，．由①比較常數項可得：，

則，，是等差數列.

綜上可得：或.

（3）證明：由，可得.

由，

相減可得：，即．

必要性：當時，．

∴……，

∴.

充分性：反證法，當時，

由，

又數列各項為正數，

∴，即，

∴，不滿足．當時，

同理可證明，不滿足.