Question

（1）已知(

3

x

-

3	x

)n的展開式的各項系數之和等于(4

3	x

-

1

5x

)5展開式中的常數項，求n；
（2）求（1-x）³+（1-x）⁴+…+（1-x）¹⁰展開式中x²項的系數．

Answer 1

考點：二項式定理的應用

專題：計算題,排列組合,二項式定理

分析：（1）展開式的各項系數之和，只要令x=1，由二項式的通項公式，化簡整理，令x的指數為0，解方程，即可得到n；
（2）運用組合數公式，

C

r n

+C

r-1 n

=C

r n+1

，分別求出各個二項式的x²項的系數，再由裂項相消求和，即可得到．

解答： 解：（1）設(4

3	x

-

1

5x

)5的展開式的通項為
Tr+1=

C

r 5

(4

3	x

)5-r(-

1

5x

)r=(-

1

5

)r•45-r

C

r 5

•x

10-5r

6

，(r=0，1，2，3，4，5)．
若它為常數項，則

10-5r

6

=0，∴r=2，代入上式∴T3=27．
即常數項是2⁷，從而可得(

3

x

-

3	x

)n中n=7；
（2）∵

C

r n

+C

r-1 n

=C

r n+1

，
∴x²項的系數為

C

2 3

+C

2 4

+…

+C

2 10

=（

C

3 4

-C

3 3

）+（

C

3 5

-C

3 4

）+…+（

C

3 11

-C

3 10

）
=

C

3 11

-C

3 3

=164．

點評：本題考查二項式定理及運用，考查二項式展開式的通項公式的運用，考查組合數公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．