Question

如圖，已知橢圓（a＞b＞0），M為橢圓上的一個動點，F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，A、B分別為橢圓的一個長軸端點與短軸的端點．當MF₂⊥F₁F₂時，原點O到直線MF₁的距離為|OF₁|．
（1）求a，b滿足的關系式；
（2）當點M在橢圓上變化時，求證：∠F₁MF₂的最大值為；
（3）設圓x²+y²=r²（0＜r＜b），G是圓上任意一點，過G作圓的切線交橢圓于Q₁，Q₂兩點，當OQ₁⊥OQ₂時，求r的值．（用b表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）設F₁（-c，0），F₂（c，0），A（a，c），B（0，b），因為MF₂⊥F₁F₂，所以點M坐標為 ，由此能夠求出a=．
（2）設MF₁=m，MF₂=n，m+n=2a，由余弦定理得=．因為，所以cos∠F₁MF₂≥0，由此能夠證明：∠F₁MF₂的最大值為．
（3）設G（rcosθ，rsinθ）圓上任意一點，過G點的切線交該橢圓于Q₁（x₁，x₂），Q₂（x₂，y₂），則切線l的法向量為（rcosθ，rsinθ），直線l的方程為xcosθ+ysinθ-r=0，聯立方程組，能夠推導出r=．
解答：解：（1）設F₁（-c，0），F₂（c，0），A（a，c），B（0，b），
因為MF₂⊥F₁F₂，所以點M坐標為 ，
所以MF₁方程b²x-2axy+b²c=0，
O到MF₁距離，整理得2b⁴=a²c²，
所以解得a=．
（2）設MF₁=m，MF₂=n，m+n=2a，
由余弦定理得
=
=．
因為，
所以cos∠F₁MF₂≥0，
當且僅當m=n=a=，cos∠F₁MF₂=0，
由三角形內角及余弦單調性知有最大值．
（3）設G（rcosθ，rsinθ）圓上任意一點，過G點的切線交該橢圓于Q₁（x₁，x₂），Q₂（x₂，y₂），
則切線l的法向量為（rcosθ，rsinθ），直線l的方程為xcosθ+ysinθ-r=0，
聯立方程組，
①cosθ=0時，|OG|=|Q₁G|=|Q₂G|，所以r=，即：r=；
②cosθ≠0時，由，
得（1+cos²θ）y²-2rsinθy+r²-2b²cos²θ=0，
所以，
因為x₁x₂cos²θ=r²-（y₁+y₂）rsinθ+sin²θ，
由OQ₁⊥OQ₂得，x₁x₂cos²θ+y₁y₂cos²θ=r²-（y₁+y₂）rsinθ+y₁y₂=0
所以3r²cos²θ=2b²cos²θ，從而r=；
由①、②知，r=．
點評：本題主要考查橢圓標準方程，簡單幾何性質，直線與橢圓的位置關系，橢圓的簡單性質等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．