Question

【題目】已知函數，，，且的最小值為0.

（1）若的極大值為，求的單調減區間；

（2）若，的是的兩個極值點，且，證明：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）根據的最小值為0分析可得，求導后，利用導數求出函數的極大值，與已知極大值相等列方程，可解得，從而可求得遞減區間；

（2）將不等式轉化為證，對任意恒成立，再構造函數，,利用導數可得到證明.

（1）因為的最小值為0，故對任意，即恒成立，

且存在實數使得，即能成立，

故關于x的一元二次方程根的判別式，故，

故，則

，

令，則或，故在和上單調遞增，

令，則，故在上單調遞減，

故是的唯一極大值點，則，解得，

故的單調減區間為.（寫成，，均可得分）

（2）不妨設，由（1）可知，的極大值點，極小值點，

又，，故要證：，

即證，

即證，即證，對任意恒成立，

構造函數，，令，

則，故在上單調遞減，又，故，

故在上單調遞增，又，故，

即對任意恒成立，即對任意恒成立，

特別地，取，則有成立，

故原不等式成立.