Question

【題目】已知橢圓 的離心率為 ，左右焦點分別為F1 ， F2 ， 以橢圓短軸為直徑的圓與直線 相切．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）過點F1、斜率為k1的直線l1與橢圓E交于A，B兩點，過點F2、斜率為k2的直線l2與橢圓E交于C，D兩點，且直線l1 ， l2相交于點P，若直線OA，OB，OC，OD的斜率kOA ， kOB ， kOC ， kOD滿足kOA+kOB=kOC+kOD ， 求證：動點P在定橢圓上，并求出此橢圓方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由以橢圓短軸為直徑的圓與直線 相切，則圓心O到直線的距離d=b，
∴b=d= =
由e= = ，則a=2c，
a2=c2+b2=c2+3，解得：a=2，c=1，
∴橢圓E的方程
（Ⅱ）當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為（﹣1，0）或（1，0）．
當直線l1、l2斜率存在時，l1的方程為y=k1（x+1），l2的方程為y=k2（x﹣1），
設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），C（x3 ， y3），D（x4 ， y4），
聯立 ，得到（3+4k12）x2+8k12x+4k12﹣12=0，
∴x1+x2=﹣ ，x1x2= ．
同理x3+x4= ，x3x4= ．（*）
∵kOA= ，kOB= ，kOA+kOB= + = = ，
同理可得：kOC+kOD= ．
由kOA+kOB=kOC+kOD ， 則 = ．
整理得：k1k2=﹣3．
設點P（x，y），則 =﹣3，（x≠±1）
整理得： ，（x≠±1）
由當直線l1或l2斜率不存在時，P點坐標為（﹣1，0）或（1，0）也滿足，
∴橢圓的標準方程：
【解析】（Ⅰ）利用點到直線的距離公式，即可求得b，利用橢圓的離心率及a2=c2+b2 ， 即可求得a的值，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）當直線l1或l2斜率不存在時，求得P點坐標，當直線l1、l2斜率存在時，可得l1的方程為y=k1（x+1），l2的方程為y=k2（x﹣1）．與橢圓方程聯立即可得出根與系數的關系，再利用斜率計算公式和已知即可得出k1與k2的關系，利用直線的斜率，即可求得橢圓方程．