Question

【題目】設定義域為R的函數 （a，b為實數）．
（1）若f（x）是奇函數，求a，b的值；
（2）當f（x）是奇函數時，證明對任何實數x，c都有f（x）＜c2﹣3c+3成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）是定義在R上的奇函數，

∴f（0）=0，

即 =0，

∴a=1，

∴ ，

∵f（1）=﹣f（﹣1），

∴ ，

∴b=2

（2）解：f（x）= = =﹣ + ，

∵2x＞0，

∴2x+1＞1，0＜ ＜1，

從而﹣ ＜f（x）＜ ；

而c2﹣3c+3=（c﹣ ）2+ ≥ 對任何實數c成立，

∴對任何實數x、c都有f（x）＜c2﹣3c+3成立

【解析】（1）利用函數是奇函數，得到f（0）=0，從而建立方程可解a，b．（2）利用函數的奇偶性和指數函數的單調性，求出f（x）的最大值，和函數y=c2﹣3c+3最小值之間的關系，進行證明即可．
【考點精析】本題主要考查了函數的最值及其幾何意義和函數奇偶性的性質的相關知識點，需要掌握利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值；利用圖象求函數的最大（小）值；利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值；在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇才能正確解答此題．