Question

【題目】如圖，某濕地公園的鳥瞰圖是一個直角梯形，其中：，，，長1千米，長千米，公園內有一個形狀是扇形的天然湖泊，扇形以長為半徑，弧為湖岸，其余部分為灘地，B，D點是公園的進出口.公園管理方計劃在進出口之間建造一條觀光步行道：線段線段弧，其中Q在線段上（異于線段端點），與弧相切于P點（異于弧端點］根據市場行情，段的建造費用是每千米10萬元，湖岸段弧的建造費用是每千米萬元（步行道的寬度不計），設為弧度觀光步行道的建造費用為萬元.

（1）求步行道的建造費用關于的函數關系式，并求其走義域；

（2）當為何值時，步行道的建造費用最低？

Answer 1

【答案】（1），定義域：；（2）當時，步行道的建造費用最低.

【解析】

（1）以為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，可得所在圓的方程為，可得，從而求得所在直線方程，與所在直線方程聯立求得坐標，即可得到與，再由弧長公式求的長，再根據與相切于點（異于弧端點）與，即可求得函數關系式與其定義域；

（2）令，利用導數求使步行道的建造費用最低時的值．

（1）以為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示：

則所在圓的方程為，，，直線：.

∵直線的方程為

∴.

所以，，弧長，

所以，化簡得.

∵與相切于點（異于弧端點），

∴定義域：.

（2）令，求導得，令，

（舍去），，，

		0
		極小值

所以當時，最小，即w最小，當時，步行道的建造費用最低.