Question

（不等式選講）設函數f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），若不等式f（x）＞m有解，則m的取值范圍是

（-∞，1）

．

Answer 1

分析：解決不等式f（x）＞m有解恒成立問題，可將問題轉化為研究函數f（x）的最大值大于m即可．

解答：解：∵f（x）=lg（|x+3|-|x-7|），
|x+3|-|x-7|＞0，
由對數定義及絕對值的幾何意義知0＜|x+3|-|x-7|≤10，
設|x+3|-|x-7|=t，則0＜t≤10，
∵f（t）=lgt在（0，+∞）上為增函數，
∴f（t）=lgt≤lg10=1．
∵f（x）＞m有解，
故只需m＜1即可，
即m＜1時，f（x）＞m恒成立．
∴m的取值范圍是（-∞，1）．
故答案為：（-∞，1）．

點評：本題考查了對數的運算性質，以及絕對值的幾何意義的應用，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．