Question

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，四邊形ABCD為菱形，△PAD為正三角形，且E為AD的中點，BE⊥平面PAD．

（Ⅰ）求證：平面PBC⊥平面PEB；

（Ⅱ）求平面PEB與平面PDC所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析 ； （2）.

【解析】

(Ⅰ)先證明BC⊥平面PEB，再證明平面PBC⊥平面PEB. （Ⅱ）建立空間直角坐標系E-xyz，利用向量法求平面PEB與平面PDC所成的銳二面角的余弦值．

（Ⅰ）∵BE⊥平面PAD，又AD平面PAD，∴AD⊥BE，

又∵△PAD為正三角形，E為AD的中點，∴AD⊥PE，

又∵PE∩BE＝E，∴AD⊥平面PEB，ABCD為菱形，∴，∴BC⊥平面PEB，

又BC平面PBC，∴平面PBC⊥平面PEB.

（Ⅱ）如圖所示，建立空間直角坐標系E-xyz，

設菱形ABCD的邊長為2，則AE=ED=1，PE=EB=，

C（－2，0），D（－1，0，0），P（0，0，），

.

設平面PDC的一個法向量為，

由，得，取y＝1，得，

又平面PEB的一個法向量為.

，∴平面PEB與平面PDC所成的銳二面角的余弦值為.