Question

(本小題滿分13分)
質點在軸上從原點出發向右運動，每次平移一個單位或兩個單位，且移動一個單位的概率為，移動2個單位的概率為，設質點運動到點的概率為.
（Ⅰ）求和；
（Ⅱ）用表示，并證明是等比數列；
（Ⅲ）求.

Answer 1

（Ⅰ）P₁=，
（Ⅱ）證明見解析。
（Ⅲ）

（Ⅰ）P₁=，
（Ⅱ）由題意可知，質點到達點（n,0），可分兩種情形，由點（n-1,0）右移1個單位或由點（n-2,0）右移2個單位，故由條件可知：（n≥3）
上式可變形為
是以為公比的等比數列。
其首項P₂－P₁=
（Ⅲ）由（Ⅱ）知P_n­－P_n－1=（n≥2）
∴