Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線與拋物線相交于不同的兩點．

（1）如果直線過拋物線的焦點，求的值；

（2）如果，證明直線必過一定點，并求出該定點．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）-3（Ⅱ）過定點，證明過程詳見解析.

【解析】

Ⅰ根據拋物線的方程得到焦點的坐標，設出直線與拋物線的兩個交點和直線方程，是直線的方程與拋物線方程聯立，得到關于y的一元二次方程，根據根與系數的關系，表達出兩個向量的數量積．

Ⅱ設出直線的方程，同拋物線方程聯立，得到關于y的一元二次方程，根據根與系數的關系表示出數量積，根據數量積等于，做出數量積表示式中的b的值，即得到定點的坐標．

Ⅰ由題意：拋物線焦點為

設l：代入拋物線消去x得，

，設，

則，

．

Ⅱ設l：代入拋物線，消去x得

設，

則，

令，．

直線l過定點．