Question

（2012•青浦區一模）設m＞3，對于項數m的有窮數列{a_n}，令b_k為a₁，a₂，…，a_k（k≤m）中最大值，稱數列{b_n}為{a_n}的“創新數列”．例如數列3，5，4，7的創新數列為3，5，5，7．考查自然數1，2，…，m（m＞3）的所有排列，將每種排列都視為一個有窮數列{c_n}．
（1）若m=4，寫出創新數列為3，4，4，4的所有數列{c_n}；
（2）是否存在數列{c_n}的創新數列為等比數列？若存在，求出符合條件的創新數列；若不存在，請說明理由．
（3）是否存在數列{c_n}，使它的創新數列為等差數列？若存在，求出滿足所有條件的數列{c_n}的個數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可得，創新數列為3，4，4，4的所有數列{c_n}有兩，即3，4，1，2和3，4，2，1．
（2）設數列{c_n}的創新數列為{e_n}，因為e_m為前m個自然數中最大的一個，所以e_m=m，經檢驗，只有公比q=1時，數列{c_n}才有唯一的一個創新數列．
（3）設存在數列{c_n}，使它的創新數列為等差數列，當d=0時，{e_m}為常數列，滿足條件；數列{c_n}是首項為m的任意一個排列，共有

A

m-1 m-1

個數列．當d=1時，符合條件的數列{e_m}只能是1，2，3…m，此時數列{c_n}是1，2，3…m，有1個．d≥2時，{e_m} 不存在．由此得出結論．

解答：解：（1）由題意可得，創新數列為3，4，4，4的所有數列{c_n}有兩個，即3，4，1，2和3，4，2，1．   （4分）
（2）存在數列{c_n}的創新數列為等比數列．…（5分）
設數列{c_n}的創新數列為{e_n}，因為e_m為前m個自然數中最大的一個，所以e_m=m．   …（6分）
若{e_m}為等比數列，設公比為q，因為 e_k+1≥e_k （k=1，2，3…m-1），所以q≥1．…（7分）
當q=1時，{e_m}為常數列滿足條件，即為數列為常數數列，每一項都等于m．    …（9分）
當q＞1時，{e_m}為增數列，符合條件的數列只能是1，2，3…m，又1，2，3…m不滿足等比數列，綜上符合條件的創新數列只有一個． …（10分）
（3）設存在數列{c_n}，使它的創新數列為等差數列，…（11分）
設數列{c_n}的創新數列為{e_m}，因為e_m為前m個自然數中最大的一個，所以e_m=m．若 {e_m}為等差數列，設公差為d，
因為 e_k+1≥e_k （k=1，2，3…m-1），所以 d≥0．且d∈N^*． …（12分）
當d=0時，{e_m}為常數列，滿足條件，即為數列 e_m=m，
此時數列{c_n}是首項為m的任意一個排列，共有

A

m-1 m-1

個數列；      …（14分）
當d=1時，符合條件的數列{e_m}只能是1，2，3…m，此時數列{c_n}是1，2，3…m，有1個；                                                     …（15分）
當d≥2時，∵e_m=e₁+（m-1）d≥e₁+2（m-1）=e₁+m+m-2 又 m＞3，∴m-2＞0．
∴e_m＞m 這與 e_m=m矛盾，所以此時{e_m} 不存在．    …（17分）
綜上滿足條件的數列{c_n}的個數為（m-1）!個．  …（18分）

點評：本題主要考查等差關系的確定，等比關系的確定，創新數列的定義，屬于中檔題．