Question

【題目】如圖，底面半徑為，母線長為的圓柱的軸截面是四邊形，線段上的兩動點， 滿足.點在底面圓上，且， 為線段的中點.

(Ⅰ)求證： 平面；

(Ⅱ)四棱錐的體積是否為定值，若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）

【解析】試題分析：

（1）要證線面平行，考慮到Q是AP的中點，因此可再取PB的中點H，從而由中位線定理得HQ與EF平行且相等，因此有FQ//HE，從而得線面平行；

（2）P點是固定的，平面ABCD是不變的，因此四棱錐的高是定值，而四棱錐的底面ABEF的面積也是不變的，因此體積為定值，由體積公式可得體積．

試題解析：

(1)證明：設PB的中點為F，連接HE，HQ，

在△ABP中，利用三角形中位線的性質可得QH∥AB，且QH＝AB，

又EF∥AB，EF＝AB，所以EF∥HQ，EF＝HQ，

所以四邊形EFQH為平行四邊形，所以FQ∥HE，

所以FQ∥平面BPE.

(2)四棱錐PABEF的體積為定值，定值為.理由如下：

由已知可得梯形ABEF的高為2，所以S梯形ABEF＝×2＝3，

又平面ABCD⊥平面ABP，過點P向AB作垂線PG，垂足為G，

則由面面垂直的性質定理可得PG⊥平面ABCD，

又AP＝，AB＝2，∠APB＝90°，所以BP＝1，

所以PG＝＝，所以V四棱錐PABEF＝×PG×S梯形ABEF＝××3＝，

所以四棱錐PABEF的體積為定值，定值為