Question

【題目】如圖，已知長方體，直線與平面所成角為垂直于點為的中點.

（1）求直線與平面所成角的正弦值；

（2）線段上是否存在點，使得二面角的余弦值為？若存在，確定點位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點，為的中點.

【解析】試題分析：

由題意可知，故得，由此可得．（1）結合條件建立空間直角坐標系，由條件可求得平面的一個法向量為，根據線面角的求法可得所求角的正弦值為．（2）根據條件可得，由此可得平面的一個法向量為，再由所給出的條件可求得，從而存在點滿足條件，且點為的中點．

試題解析：

由題意得，

所以為直線與面所成的角，故

又

．

由．

（1）以為正交基底建立平面直角坐標系，

則，則，

設平面的一個法向量為，

因為，

由，

設直線與平面所成的角為，

則 ，

所以直線與面所成角的正弦值為．

（2）令，則，

所以．

設平面的一個法向量為

由，

由題意可得

，

整理得

解得或．

又，

．

所以存在點滿足條件，且點為的中點．