Question

設雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為（　　）

• A、

  3 +1

  2

• B、

  5 +1

  2

• C、

  2

• D、

  3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設該雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），得點B（0，b），焦點為F（c，0），直線FB的斜率為-

b

c

．由垂直直線的斜率之積等于-1，建立關于a、b、c的等式，變形整理為關于離心率e的方程，解之即可得到該雙曲線的離心率．

解答： 解：解：設該雙曲線方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
可得它的漸近線方程為y=±

b

a

x，焦點為F（c，0），
點B（0，b）是虛軸的一個端點
∴直線FB的斜率為k_FB=

0-b

c-0

=-

b

c

，
∵直線FB與直線y=

b

a

x互相垂直，
∴-

b

c

×

b

a

=-1，得b²=ac
∵b²=c²-a²，
∴c²-a²=ac，兩邊都除以a²，整理得e²-e-1=0
解此方程，得e=

1± 5

2

，
∵雙曲線的離心率e＞1，
∴e=

1+ 5

2

（舍負）
故選：B．

點評：本題給出雙曲線的焦點與虛軸一端的連線與漸近線垂直，求它的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．