Question

（2013•紹興一模）已知函數f（x）=x²+（3-p）x+（1-p²）lnx（p∈R），
（1）若f（x）無極值點，求p的取值范圍；
（2）設x₀為函數f（x）的一個極值點，問在直線x=x₀的右側，函數y=f（x）的圖象上是否存在點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），使得

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=3-p成立？若存在，求出x₁的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先對函數f（x）=x²+（3-p）x+（1-p²）lnx求導f'（x）=2x+（3-p）+

1-p2

x

，再令f'（x）=0，得[x+（1-p）][2x+（1+p）]=0，根據f（x）無極值點，建立關于p的不等關系，求解即得p的取值范圍；
（2）對于存在性問題，可先假設存在，即假設存在點A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），使得

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=3-p成立．再利用構造函數結合導數工具研究其單調，求出x₁的取值范圍，若出現矛盾，則說明假設不成立，即不存在；否則存在．

解答：解：（1）∵函數f（x）=x²+（3-p）x+（1-p²）lnx，
∴f'（x）=2x+（3-p）+

1-p2

x

，令f'（x）=0，得2x²+（3-p）x+（1-p²）=0，
即[x+（1-p）][2x+（1+p）]=0，∵f（x）無極值點，
則

p-1≤0 - 1+p 2 ≤0

或p-1=-

1+p

2

，
解得-1≤p≤1或p=

1

3

．
故p的取值范圍：[-1，1]．
（2）因x＞0，由（1）f'（x）=0知，函數f（x）最多只有一個極值點x₀，且函數f（x）在x＞x₀時，是增函數，
由

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=3-p＞0得p＜3，
又

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=(x1+x2)+3-p+(1-p2)

lnx2-lnx1

x2-x1

=3-p，
∴

1

p2-1

=

lnx2-lnx1

x2<sup>2</sup>-x1<sup>2</sup>

，
∴

2 x 2 1

p2-1

=

ln( x2 x1 )2

( x2 x1 )2-1

，∵x₂＞x₁＞0，∴

x2

x1

＞1，設t=(

x2

x1

)2，g（t）=t-1-lnt（t＞1），
則g'（x）=1-

1

t

，函數g（x）在（1，+∞）是增函數，又g（1）=0，∴g（t）＞g（1）=0，
∴(

x2

x1

)2-1＞ln(

x2

x1

)2，∴

ln( x2 x1 )2

( x2 x1 )2-1

＜1，即

2 x 2 1

p2-1

＜1，得-

2(p2-1)

2

＜x₁＜

2(p2-1)

2

，（p＜-1或1＜p＜3）
又A在直線x=x₀的右側，且在函數y=f（x）的圖象上，故
①當p＜-1時，x₀=-

1+p

2

，此時-

1+p

2

＜x₁＜

2(p2-1)

2

；
②當1＜p＜3時，x₀=p-1，此時p-1＜x₁＜

2(p2-1)

2

；
綜上，存在點A，且當p＜-1時，-

1+p

2

＜x₁＜

2(p2-1)

2

；當1＜p＜3時，p-1＜x₁＜

2(p2-1)

2

．

點評：解決本題時要注意題目中所應用的函數的思想，要使的函數無極值點，表明該零點左右f′（x）同號即可，這種思想經常用到．