Question

已知拋物線y²=16x的焦點為F，直線y=k（x-4）與此拋物線相交于P，Q兩點，則

1

|FP|

+

1

|FQ|

=（　　）

• A、1
• B、

  1

  2

• C、

  1

  4

• D、

  1

  8

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由拋物線y²=16x可得焦點F（4，0），因此直線y=k（x-4）過焦點．把直線方程與拋物線方程聯立得到根與系數的關系，利用弦長公式即可得出．

解答： 解：由拋物線y²=16x可得焦點F（4，0），
因此直線y=k（x-4）過焦點．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．，則|FP|=x₁+4，|FQ|=x₂+4．
聯立

y=k(x-4) y2=16x

．化為k²x²-（16+8k²）x+16k²=0（k≠0）．
∵△＞0，∴x₁+x₂=

16+8k2

k2

，x₁x₂=16．
∴

1

|FP|

+

1

|FQ|

=

1

x1+4

+

1

x2+4

=

(x1+x2)+8

x1x2+4(x1+x2)+16

=

16 k2 +16

32+4(8+ 16 k2 )

=

1

4

．
故選C．

點評：本題考查了拋物線的焦點弦問題，注意運用定義法解題，考查聯立直線方程和拋物線方程，消去未知數，運用韋達定理和弦長公式，屬于中檔題．