Question

如圖，某市準(zhǔn)備在道路EF的一側(cè)修建一條運(yùn)動比賽道，賽道的前一部分為曲線段FBC．該曲線段是函數(shù)y=Asin（ωx+

2π

3

）（A＞0，ω＞0），x∈[-4，0]時(shí)的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為B（-1，2），賽道的中間部分為長

3

千米的直線跑道CD，且CD∥EF；賽道的后一部分是以O(shè)為圓心的一段圓弧DE．
（1）求ω的值和∠DOE的大小；
（2）若要在圓弧賽道所對應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個頂點(diǎn)在半徑OD上，另外一個頂點(diǎn)P在圓弧DE上，求“矩形草坪”面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)的位置．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),扇形面積公式

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先根據(jù)函數(shù)的圖象求出函數(shù)的解析式，進(jìn)一步求出結(jié)果．
（2）利用（1）的結(jié)論，對問題進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用．

解答： 解：（1）由條件，得A=2，

T

4

=3．
∵T=

2π

ω

，
∴ω=

π

6

．
∴曲線段FBC的解析式為：y=2sin(

π

6

x+

2π

3

)．
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=OC=

3

．
又CD=

3

，
∴∠COD=

π

4

，即∠DOE=

π

4

．
（2）由（1）知OD=

6

．
當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí)，
點(diǎn)P 在弧DE上，
故OP=

6

．
設(shè)∠POE=θ，0＜θ≤

π

4

，
“矩形草坪”的面積為：
S=

6

sinθ(

6

cosθ-

6

sinθ)=6(sinθcosθ-sin2θ)
=6(

1

2

sin2θ+

1

2

cos2θ-

1

2

)=3

2

sin(2θ+

π

4

)-3．
∵0＜θ≤

π

4

，
故當(dāng)2θ+

π

4

=

π

2

時(shí)，
θ=

π

8

時(shí)，
S取得最大值3

2

-3．

點(diǎn)評：本題考查的知識要點(diǎn)：正弦型函數(shù)的解析式，函數(shù)解析式的實(shí)際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．