Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-2處取得極值，并且它的圖象與直線y=-3x+3在點（1，0）處相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）若關于x的方程f（x）=m有三個不同的是根，求m的值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,函數的零點與方程根的關系,利用導數研究函數的極值

專題：函數的性質及應用

分析：（1）求出函數的導數，利用已知條件得到方程組即可求出a、b、c，然后求f（x）的解析式；
（2）求出函數的導數，通過導函數的符號，判斷f（x）的單調性，求出單調區間；
（3）若關于x的方程f（x）=m有三個不同的是根，求出函數的極值，然后求m的值．

解答： 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵函數f（x）在x=-2時取得極值，
∴f′（-2）=0，即12-4a+b=0①，
∵函數圖象與直線y=-3x+3切于點P（1，0）．
∴f′（1）=-3，即 3+2a+b=-3②，
由f（1）=0，即 1+a+b+c=0③，
由①②③解得a=1，b=-8，c=6；
（2）由（1）知，f（x）=x³+x²-8x+6，f′（x）=3x²+2x-8=（3x-4）（x+2），
由f′（x）＞0得，x＜-2或x＞

4

3

，由f′（x）＜0得，-2＜x＜

4

3

，
所以f（x）在（-∞，-2）和（

4

3

，+∞）上遞增，在（-2，

4

3

）上遞減，
（3）由（2）知，當x=-2時f（x）取得極大值f（-2）=18，
當x=

4

3

時f（x）取得極小值f（

4

3

）=-

62

27

，
因為關于x的方程f（x）=m有三個不同實根，所以函數y=f（x）和y=m圖象有三個交點，
所以-

62

27

＜m＜18，即為m的取值范圍．

點評：本題考查函數的導數的應用，切線方程以及函數的極值，考查分析問題解決問題的能力．