Question

已知命題p：函數f（x）=lg（mx²-2x+

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m）的定義域是R；命題q：方程x²+mx+9=0有兩個不相等的實數解，若“p且非q”為真，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據對數函數的定義域把命題p轉化為

m＞0 △=4- 4m2 9 ＜ 0

，根據一元二次方程根的情況把命題q轉化為m²-36＞0，根據“p且非q”為真，判斷出p真q假，從而求得實數a的取值范圍．

解答：解：由題意，若p為真命題，則mx²-2x+

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m＞0對任意實數x都成立，
若m=0，顯然不成立．若m≠0，則

m＞0 △=4-  4m2 9 ＜ 0

，解得m＞3；
∴命題p：m＞3；
∵關于x的方程x²+mx+9=0有兩個不相等的實數根，
∴△＞0，
即：m²-36＞0，解得m＞6或m＜-6；
∵“p且非q”為真，
∴p真q假，
∴3＜m≤6，故實數m的取值范圍為（3，6]．

點評：本題以復合命題的真假為載體考查二次方程實根分布問題和二次不等式很成立問題．二次方程實根分布問題和二次不等式很成立問題都要結合二次函數的圖象進行處理，體現函數、方程、不等式的聯系．屬中檔題．