Question

（2012•豐臺(tái)區(qū)一模）某班共有學(xué)生40人，將一次數(shù)學(xué)考試成績(jī)（單位：分）繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．
（Ⅰ）請(qǐng)根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，求出a的值；
（Ⅱ）從成績(jī)?cè)赱50，70）內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選3名學(xué)生，求這3名學(xué)生的成績(jī)都在[60，70）內(nèi)的概率；
（Ⅲ）為了了解學(xué)生本次考試的失分情況，從成績(jī)?cè)赱50，70）內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取3人的成績(jī)進(jìn)行分析，用X表示所選學(xué)生成績(jī)?cè)赱60，70）內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合頻率之和為1，看出小矩形的高的值即得a的值．
（II）設(shè)“從成績(jī)?cè)赱50，70）的學(xué)生中隨機(jī)選3名，且他們的成績(jī)都在[60，70）內(nèi)”為事件A．先算出學(xué)生成績(jī)?cè)赱50，60）內(nèi)的和在[60，70）內(nèi)的人數(shù)，根據(jù)成績(jī)?cè)赱50，70）內(nèi)的學(xué)生有11人，而且這些事件的可能性相同，根據(jù)概率公式計(jì)算，那么即可求得事件A的概率．
（III）根據(jù)題意看出變量X的可能取值，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件和等可能事件的概率公式，寫出變量的概率．列出分布列和期望值．

解答：解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，可得a=

1-(0.005+0.0075+0.0225+0.035)×10

10

=0.1-0.07=0.03，
所以 a=0.03．                                             …（2分）
（Ⅱ）學(xué)生成績(jī)?cè)赱50，60）內(nèi)的共有40×0.05=2人，在[60，70）內(nèi)的共有40×0.225=9人，
成績(jī)?cè)赱50，70）內(nèi)的學(xué)生共有11人．                            …（4分）
設(shè)“從成績(jī)?cè)赱50，70）的學(xué)生中隨機(jī)選3名，且他們的成績(jī)都在[60，70）內(nèi)”為事件A，
…（5分）
則P(A)=

C 3 9

C 3 11

=

28

55

．                                         …（7分）
所以選取的3名學(xué)生成績(jī)都在[60，70）內(nèi)的概率為

28

55

．
（Ⅲ）依題意，X的可能取值是1，2，3．                            …（8分）P(X=1)=

C 2 2 C 1 9

C 3 11

=

3

55

；        
P(X=2)=

C 1 2 C 2 9

C 3 11

=

24

55

；
P(X=3)=P(A)=

28

55

．                                    …（10分）
所以X的分布列為

ξ	1	2	3
P	3 55	24 55	28 55

…（11分）
Eξ=1×

3

55

+2×

24

55

+3×

28

55

=

27

11

．                           …（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了對(duì)頻率分布直方圖的掌握情況，考查的是概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是利用等可能事件的概率公式做出變量對(duì)應(yīng)的概率值．