Question

（本小題滿分12分）
某企業科研課題組計劃投資研發一種新產品，根據分析和預測，能獲得10萬元～1000萬元的投資收益.企業擬制定方案對課題組進行獎勵，獎勵方案為：獎金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金也不超過投資收益的20%，并用函數y= f(x)模擬這一獎勵方案.
（Ⅰ）試寫出模擬函數y= f(x)所滿足的條件；
（Ⅱ）試分析函數模型y= 4lgx-3是否符合獎勵方案的要求？并說明你的理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，模擬函數y=f(x)滿足的條件是：
（1）  f(x)在［10，1000］上是增函數；（2）f(x)≤9；（3）f(x)≤x.……（3分）
(Ⅱ)對于y="4" lg x-3,顯然它在［10，1000］上是增函數，滿足條件（1），……（4分）
又當10≤x≤1000時，4lg10-3≤y≤4lg1000-3,即y［1，9］，從而滿足條件（2）.（5分）
下面證明：f(x)≤x，即4lg x-3≤x對于x［10，1000］恒成立. ……（6分）
令g(x)= 4lgx-3-x(10≤x≤1000),則g′(x)= …（8分）
∵e＜
∴20lge-x＜0，∴g′(x) ＜0對于x ［10，1000］恒成立.
∴g(x)在［10，1000］上是減函數……………………………（10分）
∴g(x)在［10，1000］時，g (x)≤g(10=4lg10-3-×10=-1＜0，
即4lg x-3-x≤0，即4lg x-3≤x對于x ［10，1000］恒成立.從而滿足條件（3）.
故函數模型y=4lgx-3符合獎勵方案的要求. …………………（12分）

略