Question

【題目】如圖所示，在三棱柱中，為正方形，為菱形，.

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）若是中點，是二面角的平面角，求直線與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先根據平面幾何知識證明 從而可得 面，可得 ，進而得 平面 ，再由面面垂直的判定定理可得結論；（2）建立空間坐標系，求出平面的法向量，利用向量法求解即可.

試題解析：（1）證明：連接，因為為菱形，所以，又，

，所以面.

故.

因為，且，所以面.

而，所以平面平面；

（2）因為是二面角的平面角，所以，又是中點，

所以，所以為等邊三角形.

如圖所示，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標系，

不妨設，則，，，.

設是平面的一個法向量，則

，即，

取得.

所以，

所以直線與平面所成的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查利用求二面角，面面垂直的判定定理，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.