Question

已知y=f（x）是奇函數，在（-∞，0）上是增函數，且f（x）＞0；求它在（0，+∞）上的單調性及f（x）的符號正負．

Answer 1

考點：奇偶性與單調性的綜合

專題：函數的性質及應用

分析：利用函數的奇偶性，得到f（-x）=-f（x），將函數f（x）在（0，+∞）上的問題轉化到（-∞，0），利用條件：y=f（x）是奇函數，在（-∞，0）上，f（x）是增函數，且f（x）＞0，得到本題結論．

解答： 解：∵函數y=f（x）是奇函數，
∴f（-x）=-f（x）．
（1）在（0，+∞）上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
∴0＞-x₁＞-x₂，
∵函數y=f（x）在（-∞，0）上是增函數，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
∴-f（x₁）＞-f（x₂），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴函數y=f（x）在（0，+∞）上的單調增函數．
（2）當x＞0時，-x＜0，
∵在（-∞，0）上f（x）＞0，
∴f（-x）＞0，
∴-f（x）＞0，
∴f（x）＜0．
∴在（0，+∞）上，數f（x）單調遞增且f（x）＜0．

點評：本題考查了函數的奇偶性和單調性，本題難度不大，屬于基礎題．