Question

【題目】已知函數 .

（1）若函數與的圖象恰好相切與點，求實數 的值；

（2）當時， 恒成立，求實數的取值范圍；

（3）求證： .

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）見解析

【解析】試題分析：（1）根據導數幾何意義得,即得實數的值；（2）利用分參法將不等式恒成立問題轉化為對應函數最值問題（x>1）最大值,再利用導數研究函數單調性：單調遞減，最后根據洛必達法則求最大值，即得實數的取值范圍(3)先根據和的關系轉化為對應項的關系： ，再利用（2）的結論，令，則代入放縮得證

試題解析：（1）

所以

（2）方法一：（分參）

即時， ， 時，顯然成立；

時，即

令，則

令 []

即

在上單調遞減

故

方法二：（先找必要條件）

注意到時，恰有

令

則

在恒成立的必要條件為

即

下面證明：當時，

令

即

在遞減，

恒成立，即也是充分條件，故有.

（3）不妨設為前項和，則

要證原不等式，只需證

而由（2）知：當時恒有

即當且僅當時取等號

取，則

即即

即成立，從而原不等式獲證.