Question

【題目】在四棱錐中，平面，，，，，為棱上的點.

（Ｉ）若，求證：平面.

（Ⅱ）若是的中點，求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ｉ）證明見解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ｉ）作出輔助線，證明線線平行可得線面平行或者利用空間向量，求解平面法向量，利用直線的方向向量與法向量垂直可證線面平行；

（Ⅱ）先求解平面的法向量，利用公式可求直線與平面所成角的正弦值.

（Ⅰ）解法1：連BD，令，

，，，

又，，，

且面ACE，面ACE，平面ACE.

（Ⅰ）解法2：過A作面ABCD，以A為原點，如圖建系.由題意求得

，，，.

，，設，由，

得.

設平面ACE的一個法向量為，則，即，，令，則，，，

且平面ACE，平面ACE.

（Ⅱ）以A為原點，如圖建系，由題意求得

，，，

，，，

設平面ACE的一個法向量為，則，即，

，令，則，，.

直線PB與平面ACE所成角的正弦值.