Question

已知函數f（x）=

1

2

ax²+2x+（2-a）lnx
（1）當a=-2時，求f（x）的最大值
（2）若在函數f（x）的定義域內存在區間D，使得該函數在區間D上為減函數，求a的取值范圍
（3）若曲線C：y=f（x）在點x=1處的切線l與C有且只有一個公共點，求a的值．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（1）當a=-2時，f（x）=-x²+2x+4lnx，（x＞0），f′（x）=

-2(x+1)(x-2)

x

，利用導數研究其單調性極值與最值即可得出；
（2）f′(x)=ax+2+

2-a

x

=

(ax+2-a)(x+1)

x

，（x∈（0，+∞））．由于在函數f（x）的定義域內存在區間D，使得該函數在區間D上為減函數，
可得f′（x）≤0在x∈（0，+∞）的一個子集D上成立．即ax≤a-2在x∈（0，+∞）的一個子集D上成立．對a分類討論即可得出．
（3）f′（1）=4，f（1）=

1

2

a+2．可得切線方程y=4x+

1

2

a-2，由于曲線C：y=f（x）在點x=1處的切線l與C有且只有一個公共點，因此方程4x+

1

2

a-2=

1

2

ax²+2x+（2-a）lnx只有一個實數根，令g（x）=

1

2

ax2-2x+(2-a)lnx-

1

2

a+2，利用導數研究函數的單調性極值即可得出．

解答： 解：（1）當a=-2時，f（x）=-x²+2x+4lnx，（x＞0），
f′（x）=-2x+2+

4

x

=

-2(x+1)(x-2)

x

，令f′（x）＞0，解得0＜x＜2，此時函數f（x）單調遞增；令f′（x）＜0，解得2＜x，此時函數f（x）單調遞減．
∴當x=2時，函數f（x）取得最大值f（2）=4ln2．
（2）f′(x)=ax+2+

2-a

x

=

(ax+2-a)(x+1)

x

，（x∈（0，+∞））．
∵在函數f（x）的定義域內存在區間D，使得該函數在區間D上為減函數，
∴f′（x）≤0在x∈（0，+∞）的一個子集D上成立．
∴ax≤a-2在x∈（0，+∞）的一個子集D上成立．
若a＜0，則x≥1-

2

a

，滿足題意．
若a＞2，則0＜x≤1-

2

a

，滿足題意．
則當0≤a≤2時，不滿足題意．
綜上可得：a的取值范圍是a＜0或a＞2．
（3）f′（1）=4，f（1）=

1

2

a+2．
切線方程為y-

1

2

a-2=4(x-1)，化為y=4x+

1

2

a-2，
∵曲線C：y=f（x）在點x=1處的切線l與C有且只有一個公共點，
∴方程4x+

1

2

a-2=

1

2

ax²+2x+（2-a）lnx只有一個實數根，
即

1

2

ax2-2x+(2-a)lnx-

1

2

a+2=0只有一個實數根，
令g（x）=

1

2

ax2-2x+(2-a)lnx-

1

2

a+2，
g′（x）=ax-2+

2-a

x

=

(ax-2+a)(x-1)

x

，
當a=1時，g′（x）=

(x-1)2

x

≥0恒成立，此時函數g（x）單調遞增，而g（1）=0，只有一解，滿足題意．
當a≠1時，函數g（x）由極值點，其實數根不唯一，因此不滿足題意．
∴a=1．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、幾何意義、切線方程，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．