Question

已知函數f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1 
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若 f（x）≤0恒成立，式確定實數k的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的概念及應用

分析：本題（1）先求出函數的導函數，利用導函數值的正負，研究函數的單調性，注意要分類研究；（2）要使 f（x）≤0恒成立，就要求函數的最大值小于0，利用（1）的結論，得到求出函數最大值，得到相應的不等關系，解不等式，得到本題結論．

解答： 解：（1）∵函數f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1，
∴f′（x）=

1

x-1

-k，（x＞1），
∴當k≤0時，f′（x）＞0，∴函數f（x）在區間（1，+∞）上單調遞增；
當k＞0時，令

1

x-1

-k＞0，則1＜x＜1+

1

k

，∴函數f（x）在區間（1，1+

1

k

）上單調遞增；
          令

1

x-1

-k＜0，則x＞1+

1

k

，∴函數f（x）在區間（1+

1

k

，+∞）上單調遞減．
綜上，當k≤0時，函數f（x）單調遞增區間為（1，+∞）；
當k＞0時，函數f（x）單調遞增區間為（1，1+

1

k

），單調遞減區間為（1+

1

k

，+∞）．
（2）由（1）知：當k＞0時，函數f（x）的最大值為：f（1+

1

k

）=ln

1

k

=-lnk．
∵f（x）≤0恒成立，
∴-lnk＜0，
∴k＞1．

點評：本題考查了導數與函數的單調性、最值和恒成立問題，本題難度不大，屬于基礎題．