Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，在側(cè)面PBC內(nèi)，有BE⊥PC于E，且BE=

6

3

a，M、N分別為PD、AC上的點(diǎn)，且PM=AN．
（1）求PA的長(zhǎng)；
（2）求證：MN∥平面PAB；
（3）試在AB上找一點(diǎn)F，使EF∥平面PAD；
（4）求線段MN的長(zhǎng)的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)出PA，利用勾股定理以及三角形的面積求解即可．
（2）過(guò)M作MR∥PA，連結(jié)NR，說(shuō)明平面MNR∥平面PAB，即可得到結(jié)論．
（3）畫(huà)出圖形，過(guò)E作EG∥CD交PD于G，連接AG，在AB上取點(diǎn)F，使AF=EG，要證明EF∥平面PAD，只需證明FE∥AG即可；然后確定F的位置．
（4）設(shè)出PM，然后求出MR，NR，表示出MN，然后利用二次函數(shù)的最值求解最小值．

解答： 解：（1）由題意設(shè)PA=x，則：PB=

x2+a2

，AC=

2

a，PC=

x2+2a2

，在Rt△PBC中，BE•PB=BC•PB
可得：

6

3

a•

x2+2a2

=a•

x2+a2

，解得x=a．
∴PA=a．
（2）過(guò)M作MR∥PA，連結(jié)NR，由（1）可知PA=a，
M、N分別為PD、AC上的點(diǎn)，且PM=AN．
易證NR∥CD，可得平面MNR∥平面PAB，
⇒MN∥平面PAB；
（3）解：在平面PCD內(nèi)，過(guò)E作EG∥CD交PD于G，連接AG，
在AB上取點(diǎn)F，使AF=EG，則F即為所求作的點(diǎn)．
∵EG∥CD∥AF，EG=AF，
∴四邊形FEGA為平行四邊形，
∴FE∥AG．
又AG?平面PAD，F(xiàn)E?平面PAD，
∴EF∥平面PAD．
又在Rt△BCE中，
CE=

BC2-BE2

=

3

3

a．
在Rt△PBC中，BC²=CE•CP
∴CP=

a2

3 3 a

=

3

a．又

EG

CD

=

PE

PC

，
∴EG=

PE

PC

•CD=

2

3

a，
∴AF=EG=

2

3

a．
∴點(diǎn)F為AB的一個(gè)三等分點(diǎn)．
（4）設(shè)PM=t，（0＜t＜

2

a），則AN=t，∵NR∥CD，可知
△ANR∽△ACD，∴

NR

a

=

t

2 a

，NR=

2

2

t．
同理可得MR=a-

2

2

t．
MN=

( 2 2 t)2+(a- 2 2 t)2

=

t2- 2 at+a2

，（0＜t＜

2

a），
當(dāng)t=

2

2

a時(shí)，MN最小，最小值為：

2

2

a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的判定，涉及空間距離，以及空間距離的最值問(wèn)題，考查學(xué)生的邏輯思維能力，空間想象能力以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．