Question

【題目】設數列的前項和，對任意，都有（為常數）．

（1）當時，求；

（2）當時，

（ⅰ）求證：數列是等差數列；

（ⅱ）若對任意，必存在使得，已知，且，

求數列的通項公式．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)（ⅰ）見解析;(2).

【解析】試題分析：（1）當時，．，再寫一式，兩式相減，可得數列{an}是以首項為1，公比為3的等比數列，從而可求Sn；

（2）①當時，，再寫一式，兩式相減，可得數列{an}是等差數列，從而可求數列{an}的通項公式;

②因為，所以．因為，所以, 因為，所以．又因為，即可得到的值，進而求出通項.

試題解析：

（1）當時，．①

當時，，所以．

當時，．②

①②得：．因為，所以，所以，

所以是以1為首項，3為公比的等比數列，

所以．

（2）（ⅰ）當時，．③

當時，．④

③－④得：，⑤

所以．⑥

⑤－⑥得：．

因為，所以 即，

所以是等差數列．

（ⅱ）因為，所以．

因為，所以，所以．

因為，所以．又因為，

所以，所以或．

當時，，，，

所以 不符合題意．

當時，，，

所以滿足題意．

所以．