Question

設的最大值為M。

   （1）當時，求M的值。

   （2）當取遍所有實數時，求M的最小值；

       （以下結論可供參考：對于，當同號時取等號）

   （3）對于第（2）小題中的，設數列滿足，求證：。

Answer 1

（1）    （2）  （3）見解析

解析:

（1）求導可得

   

    當時取等號     3分

   （2）

       5分

   

    =6，

    。

    由（1）可知，當時，    。

          7分

   （3）證法一：（局部放縮法）因為，

    所以

    由于

       9分

    所以不等式左邊

   

   

        11分

    下證

    ，

    顯然。即證。    12分

    證法二：（數學歸納法）即證：當

   

    下用數學歸納法證明：

    ①當時，左邊，顯然；

    ②假設時命題成立，即

      8分

    當時，

    左邊

    （）

均值不等式

                   

         11分

    下證：（*）

    （*），

    顯然。

    所以命題對時成立。

    綜上①②知不等式對一切成立。     12分