Question

（2013•浙江）如圖，點P（0，﹣1）是橢圓C₁：+=1（a＞b＞0）的一個頂點，C₁的長軸是圓C₂：x²+y²=4的直徑，l₁，l₂是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l₁交圓C₂于A、B兩點，l₂交橢圓C₁于另一點D．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）求△ABD面積的最大值時直線l₁的方程．

Answer 1

（1）      （2）

（1）由題意可得b=1，2a=4，即a=2．
∴橢圓C₁的方程為；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），D（x₀，y₀）．
由題意可知：直線l₁的斜率存在，設為k，則直線l₁的方程為y=kx﹣1．
又圓的圓心O（0，0）到直線l₁的距離d=．
∴|AB|==．
又l₂⊥l₁，故直線l₂的方程為x+ky+k=0，聯立，消去y得到（4+k²）x²+8kx=0，解得，
∴．
∴三角形ABD的面積．
∴=，當且僅當時取等號，
故所求直線l₁的方程為．