Question

如圖，設(shè)Ｐ是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Ｄ是Ｐ在軸上投影，Ｍ為PD上一點(diǎn)，且．

（1）當(dāng)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程；
（2）求過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長(zhǎng)度．

Answer 1

（1）   （2）

（1）動(dòng)點(diǎn)M通過點(diǎn)P與已知圓相聯(lián)系，所以把點(diǎn)P的坐標(biāo)用點(diǎn)M的坐標(biāo)表示，然后代入已知圓的方程即可；（2）直線方程和橢圓方程組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關(guān)系；結(jié)合兩點(diǎn)的距離公式計(jì)算．
（1）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是，P的坐標(biāo)是，
因?yàn)辄c(diǎn)Ｄ是Ｐ在軸上投影，
Ｍ為PD上一點(diǎn)，且，所以，且，
∵P在圓上，∴，整理得，
即C的方程是．
（2）過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線方程是，
設(shè)此直線與C的交點(diǎn)為，，
將直線方程代入C的方程得：
，化簡(jiǎn)得，∴，，
所以線段AB的長(zhǎng)度是
，即所截線段的長(zhǎng)度是．